章节复习总结与练习题 - 第4章核心知识点与综合练习
等可能概率：\( P( ext{事件}) = \frac{ ext{有利结果数}}{ ext{总结果数}} \)
加法公式：\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)
乘法公式：\( P(A \cap B) = P(A) imes P(B|A) \)
条件概率：\( P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \)
独立事件：事件间概率不相互影响，\( P(A \cap B) = P(A) imes P(B) \)
互斥事件：不可能同时发生，\( P(A \cap B) = 0 \)，\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) \)
补集概率：\( P(A') = 1 - P(A) \)
| 问题类型 | 特征 | 适用工具 | 解题技巧 |
|---|---|---|---|
| 计数概率 | 计算有利与总结果比例 | 直接计算 | 系统枚举所有可能 |
| 集合关系 | 多事件包含、交并关系 | 维恩图 | 图形化分析关系 |
| 条件概率 | 已知条件下计算概率 | 条件概率公式 | 受限样本空间 |
| 连续实验 | 多次实验联合概率 | 树状图 | 分析概率更新 |
题目：A和B是两个事件，已知\( P(A) = 0.6 \)，\( P(B) = 0.7 \)，\( P(A \cup B) = 0.85 \)。求\( P(A \cap B) \)和\( P(A|B) \)
使用加法公式计算交集概率：
\( P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = 0.6 + 0.7 - 0.85 = 0.45 \)
使用条件概率公式：
\( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.45}{0.7} \approx 0.6429 \)
题目：一个袋子里有8个红球和6个蓝球。不放回地抽取两个球。求两个球都是红球的概率。
第一次抽到红球的概率：\( \frac{8}{14} \)
不放回情况下，第二次抽到红球的概率：\( \frac{7}{13} \)
两次都是红球的概率：\( \frac{8}{14} imes \frac{7}{13} = \frac{56}{182} = \frac{28}{91} \)
A和B是两个事件，已知\( P(A) = 0.3 \)，\( P(B) = 0.4 \)，\( P(A|B) = 0.5 \)。求：
a) \( P(A \cap B) \)
b) \( P(A \cup B) \)
c) \( P(B|A) \)
d) \( P(A' \cap B') \)
答题区域：
掷两个骰子，已知至少有一个骰子显示6，求两个骰子点数之和为8的概率。
答题区域：
一个班级有40名学生，其中25名学生学习数学，20名学生学习物理，15名学生两者都学。求：
a) 仅学习数学的概率
b) 学习数学但不学习物理的概率
c) 既不学习数学也不学习物理的概率
d) 学习物理的条件下学习数学的概率
答题区域：
某种疾病的发病率为0.01。检测阳性的概率为0.95（真阳性），假阳性率为0.05。求：
a) 检测阳性时实际患病的概率
b) 检测阴性时实际健康的概率
答题区域：
解答过程：
a) \( P(A \cap B) = P(B) imes P(A|B) = 0.4 imes 0.5 = 0.15 \)
b) \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.3 + 0.4 - 0.15 = 0.55 \)
c) \( P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0.15}{0.3} = 0.5 \)
d) \( P(A' \cap B') = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.55 = 0.45 \)
解答过程：
至少一个6的情况（11种）：
(1,6), (2,6), (3,6), (4,6), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)
和为8的情况（2种）：
(2,6), (6,2)
\( P( ext{sum}=8 | ext{at least one 6}) = \frac{2}{11} \)
解答过程：
a) 仅数学：25 - 15 = 10人，概率 \( \frac{10}{40} = 0.25 \)
b) 数学但不物理：10人，概率 \( \frac{10}{40} = 0.25 \)
c) 既不：40 - (25 + 20 - 15) = 40 - 30 = 10人，概率 \( \frac{10}{40} = 0.25 \)
d) \( P( ext{数学}| ext{物理}) = \frac{15}{20} = 0.75 \)
解答过程：
设 \( D \) = 患病，\( T \) = 检测阳性。
\( P(D) = 0.01 \)，\( P(T|D) = 0.95 \)，\( P(T|D') = 0.05 \)，\( P(D') = 0.99 \)
a) \( P(D|T) = \frac{P(T|D) imes P(D)}{P(T)} = \frac{0.95 imes 0.01}{0.95 imes 0.01 + 0.05 imes 0.99} = \frac{0.0095}{0.059} \approx 0.161 \)
b) \( P(D'|T') = \frac{P(T'|D') imes P(D')}{P(T')} = \frac{0.95 imes 0.99}{0.95 imes 0.99 + 0.05 imes 0.01} \approx 0.9995 \)